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|---|---|---|---|---|---|---|---|
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信号与线性系统笔记 |
2021-07-01 00:00:00 +0800 |
通信 |
signal note |
true |
true |
原创 |
本文为信号与线性系统笔记。
-
平移
$$x\left(t\right)\rightarrow x\left(t+t_0\right)/x\left(t-t_0\right)$$ -
反转
$$x\left(t\right)\rightarrow x\left(-t\right)$$ -
连续信号尺度
$$x\left(t\right)\rightarrow x\left(at\right)$$ -
离散信号尺度
$$x\left(n\right)\rightarrow x\left(Nn\right)/x\left(n/N\right)$$
-
奇信号和偶信号
-
$$x_o\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)-x\left(-t\right)\right]$$ $$x_e\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)+x\left(-t\right)\right]$$
-
-
周期信号和非周期信号
-
连续直流信号：基波周期无意义
-
离散直流信号：基波周期为1
-
-
连续时间正弦信号
$$x\left(t\right)=A\cos{\left({\Omega}_0t+\varphi\right)}$$ -
离散时间正弦序列
$$x\left(n\right)=A\cos{\left({\omega}_0n+\varphi\right)}$$ -
连续时间指数信号
$$x\left(t\right)=c\mathrm{e}^{at}$$ - 单边指数信号 $$f\left(t\right)=\begin{cases}0&t<0\e^{-\frac{t}{\tau}}&t>0\end{cases}$$
-
离散时间指数信号
$$x\left(n\right)=ca^n$$ -
单位阶跃信号
$$u\left(t\right)=\left{\begin{array}{lr} 1&t>0\0&t<0\end{array}\right.$$
$$u\left(n\right)=\left{\begin{array}{lr} 1&n\geq0\0&n<0\end{array}\right.$$
-
单位脉冲序列（离散）
$$\delta\left(n\right)=\left{\begin{array}{lr} 1&n=0\0&n\neq0\end{array}\right.$$
-
$$x\left(n\right)\delta\left(n\right)=x\left(0\right)\delta\left(n\right)$$ $$x\left(n\right)\delta\left(n-m\right)=x\left(m\right)\delta\left(n-m\right)$$ -
$$\delta\left(n\right)=u\left(n\right)-u\left(n-1\right)$$ $$u\left(n\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\delta\left(n-k\right)}$$
-
-
单位冲击函数（连续）
$$\left{\begin{array}{lr} \int_{-\infty}^{+\infty}{\delta\left(t\right)\mathrm{d}t}=1 &\\delta\left(t\right)=0&t\neq0\end{array}\right.$$
-
$$\delta\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}u\left(t\right)}{\mathrm{d}t}$$ $$\int_{-\infty}^{t}{\delta\left(t\right)\mathrm{d}t}=u\left(t\right)$$
-
-
定义：$$\int_{-\infty}^{t}{x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)\mathrm{d}t}=x\left(t_0\right)$$
-
抽样性质：$$x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)=x\left(t_0\right)\delta\left(t-t_0\right)$$
-
奇偶性：$$\delta\left(t\right)=\delta\left(-t\right)$$
-
尺度变换：$$\delta\left(at\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(t\right)$$
-
微分：$$\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)\delta^{\prime}\left(t\right)\mathrm{d}t}=-x^{\prime}\left(0\right)$$
-
二阶系统
$$y^{\prime\prime}+a_1y^{\prime}+a_0y=b_1x^{\prime}+b_0x$$ $$q^{\prime\prime}+a_1q^{\prime}+a_0q=x$$ $$y=b_1q^{\prime}+b_0q$$ -
$$n$$ 阶系统$$y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_1y^{\prime}+a_0y=b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_1x^{\prime}+b_0x$$ $$q^{\left(n\right)}+a_{n-1}q^{n-1}+\cdots +a_1q^{\prime}+a_0q=x$$ $$y=b_{n-1}q^{n-1}+\cdots +b_1q^{\prime}+b_0q$$
-
及时系统/动态系统：在任何时刻的输入，只与当前时刻输入有关，则为即时系统
-
可逆系统/不可逆系统：系统对不同的输入产生的输出都不同，即系统的输入与输出成一一对应关系，则称为可逆系统
-
因果系统/非因果系统：$$t<t_0, x\left(t\right)=0, y\left(t\right)=0$$
-
稳定系统/不稳定系统：系统对任何有界输入产生的输出都是有界的，则称为稳定系统
-
时变系统/时不变系统：输入信号在时间上有一个平移，则相应的输出信号也仅在时间上有一个同样的平移，而波形上没有任何变化，则为时变系统
-
线性系统/非线性系统：既满足叠加性，同时又满足齐次性的系统，称为线性系统
-
叠加性
$$x_1\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right),x_2\left(t\right)\rightarrow y_2\left(t\right)$$ $$x_1\left(t\right)+x_2\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)$$ -
齐次性
$$x\left(t\right)\rightarrow y\left(t\right)$$ $$k\cdot x\left(t\right)\rightarrow k\cdot y\left(t\right)$$
-
-
增量线性系统：如果一个系统输出的增量与输入的增量之间成线性关系，则该系统为增量线性系统
-
矩形脉冲信号
$$\delta_{\Delta}\left(t\right)=\left{\begin{array}{lr} \frac{1}{\Delta}&0<t<\Delta\0&其它\end{array}\right.$$
-
变换：改变图形中的横坐标，自变量由
$$t$$ 变为$$\tau$$ -
反转：将其中一个信号反转
-
平移：反转后的信号随参变量
$$t$$ 平移，得到$$h(t-\tau)$$ 。若$$t>0$$ 则右向平移，若$$t<0$$ 则左向平移 -
相乘：将
$$x(\tau)$$ 与$$h(t-\tau)$$ 相乘 -
积分：$$x(\tau)$$ 与
$$h(t-\tau)$$ 乘积曲线下的面积即为$$t$$ 时刻的卷积值 （注意积分区域）
-
交换律
$$x(t)*h(t)=h(t)*x(t)$$ 结合律 $$\left[x(t)*h_1(t)\right]h_2(t)=x(t)\left[h_1(t)*h_2(t)\right]$$
-
串联系统的冲击响应，等于各子系统冲击响应之卷积
-
串联系统与子系统次序无关
分配律
$$x(t)*\left[h_1(t)+h_2(t)\right]=x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t)$$ - 一个并联系统的冲激响应等于各个子系统冲激响应之和
-
-
卷积微分
$$[x(t)*h(t)]^\prime =x^\prime (t)*h(t)=x(t)*h^\prime (t)$$ 卷积积分 $$\int_{-\infty}^{t}{[x(\lambda)*h(\lambda)]\mathrm{d}\lambda}=\left[\int_{-\infty}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]h(t)=x(t)\left[\int_{-\infty}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]$$
- 推论 $$y(t)=x(t)h(t)=x^\prime (t)\left[\int_{-\infty}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]=\left[\int_{-\infty}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]*h^\prime (t)$$
-
冲激函数卷积
$$x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=x(t-t_1-t_2)$$ - 推论
$$x(t-t_1)*h(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$$
阶跃函数卷积
$$x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\tau$$ - 推论
$$u(t)*u(t)=tu(t)$$
- 推论
冲激响应：系统对单位冲激信号的零状态响应
-
二阶通式
$$y^{\prime\prime} +a_1 y^\prime +a_0y=b_1x^\prime +b_0x$$ $$N$$ 阶通式$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y^\prime +a_0y=b_mx^{(m)}+\cdots+b_1x^\prime +b_0x$$ 求和形式
$$\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}$$
-
齐次方程
$$\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=0$$ $$y_1(t)=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_k \mathrm{e}^{\lambda_kt}(t)}$$ -
微分算子
$$\frac{d^nx}{dt^n}=p^nx, \int_{-\infty}^{t}{x\mathrm{d}\tau}=\frac{1}{p}x$$ $$mp+np=(m+n)p$$ $$p^mp^n=p^{m+n}$$ （$$m,n$$同正负）$$p\frac{1}{p}\neq\frac{1}{p}p$$ $$px(t)\not\rightarrow x(t)=y(t)$$ -
记
$$N$$ 阶通式为$$D(p)y(t)=N(p)x(t)$$ $$H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}$$ $$y(t)=H(p)x(t)$$ -
$$n>m$$ $$y(t)=H(p)x(t)\Rightarrow h(t)=H(p)\delta(t)$$ $$h(t)=H(p)\delta(t)=\left(\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t)$$ 特征方程的特征根为
$$\lambda_k$$ 令
$$h_i(t)=\frac{k_i}{p-\lambda_i}\delta(t)$$ $$h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{h_i(t)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}$$ 若
$$\lambda_k$$ 均为$$k$$ 阶重根，$$h_k(t)=\left(A_1+A_2t+\cdots+A_kt^{k-1}\right)\mathrm{e}^{\lambda_1t}u(t)$$ -
$$n=m$$ $$h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+b_m\delta(t)$$ -
$$n<m$$ $$\begin{aligned} h(t)=&H(p)\delta(t) \ =&\left(A_0p^{m-n}+\cdots+A_{m-n+1}p+A_{m-n}\right. \ &+\left.\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t) \end{aligned}$$
$$h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+A_0\delta^{(m-n)}(t)+\cdots+A_{m-n}\delta(n)$$
-
-
$$y(n)=x(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{x(k)h(n-k)}$$ 因果系统
$$y(n)==\sum\limits_{k=0}^{n}{x(k)h(n-k)}$$
-
反转：将
$$h(k)$$ 以纵轴为对称轴反转得到$$h(-k)$$ -
平移：将
$$h(-k)$$ 随参变量平移得到$$h(n-k)$$ -
相乘：将
$$x(n)$$ 与$$h(n-k)$$ 各对应点相乘 -
求和：将相乘后的各点值相加
-
交换律、结合律、分配律
-
长度有限性
$$l_y=l_x+l_h-1$$ -
$$x(n-n_1)*\delta(n-n_2)=x(n-n_1-n_2)$$ $$x(n)*u(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{x(k)}$$ $$u(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{h(k)}=s(n)$$ $$h(n)=s(n)-s(n-1)$$
差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移序之差
-
移位算子：$$S\cdot y(k)=y(k+1)$$
差分方程变为
$$\left(S^N+\cdots+a_1S_1+a_0\right)y(n)=\left(b_MS_M+\cdots+b_1S_1+b_0\right)x(n)$$ -
$$y(n)=H(S)x(n)$$ $$H_i(S)=\frac{A_i}{S-v_i}$$ -
$$m<n$$ $$h(n)=\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}$$ 若
$$v_r$$ 为$$l$$ 阶重根，$$h_r(n)=\frac{A(n-1)!}{(l-1)!(n-1)!}v_r^{n-l}u(n-1)$$ -
$$m=n$$ $$H(S)=A_0+H_1(S)+\cdots+H_N(S)$$ $$h(n)=A_0\delta(n)+\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}$$ -
$$m>n$$ ：非因果系统，不考虑
-
-
及时系统：$$h(n)=a\delta(n),h(t)=a\delta(t)$$
-
恒等系统：$$h(n)=\delta(n),h(t)=\delta(t)$$
-
可逆系统：$$h(n)*h_I(n)=\delta(n),h(t)*h_I(t)=\delta(t)$$
-
因果系统：$$n<0\Rightarrow h(n)=0,t<0\Rightarrow h(t)=0$$
-
稳定性：对于任何有界的输入，其输出有界
$$\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\left|h(k)\right|}<\infty,\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|h(t)\right|\mathrm{d}t}<\infty$$
-
解法1
$$\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n+k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n+k)}$$ $$y(n)=\frac{b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)$$ 令
$$q(n)=\frac{1}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)$$ 则
$$a_Nq(n)=x(n)-\cdots$$ $$y(n)=\left(b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0\right)q(n)$$ -
解法2
$$w(n)=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}$$ $$y(n)=\frac{1}{a_0}\left[w(n)-\sum\limits_{k=1}^{N}{a_ky(n-k)}\right]$$
复指数信号
-
复频域分析
$$s=\sigma+h\Omega$$ 频域分析
$$\sigma=0,s=j\Omega$$ -
欧拉公式
$$e^{j\Omega_0t}=\cos{\Omega_0t}+j\sin{\Omega_0t}$$ -
令
$$x(t)=e^{st},y(t)=e^{st}\int_{-\infty}^{\infty}{h(\tau)e^{-st}\mathrm{d}\tau}=H(s)e^{st}$$ $$s^{st}$$ 为特征函数，$$H(s)$$ 为特征值$$x(t)=\sum\limits_k{a_ke^{s_kt}}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(s_k)e^{s_kt}}$$
周期信号
-
共轭性
$$\dot{A_k}=\dot{A_{-k}}^{*}$$ $$x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\mathrm{Re}\left{\dot{A_k}e^{jk\Omega_0t}\right}}$$ -
三角函数形式
$$x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dot{A_k}\cos{(k\Omega_0t+\theta_k)}}$$ $$ \begin{aligned} =&a_0+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left[a_k\cos{k\Omega_0t}-b_k\sin{k\Omega_0t}\right]} \ =&a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left[a^\prime _n\cos{n\Omega_0t}-b^\prime _n\sin{n\Omega_0t}\right]} \end{aligned} $$
$$A_0=a_0=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\mathrm{d}t}$$ $$a_k=\frac{1}{2}\left(\dot{A_k}+\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \cos{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}$$ $$b_k=\frac{1}{2j}\left(\dot{A_k}-\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \sin{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}$$ $$a^\prime _1\cos{n\Omega_0t}-b^\prime _1\sin{n\Omega_0t}$$ 为基波分量，其余为谐波分量 -
$$a_k$$ 为偶信号$$x_e(t)$$ 的傅立叶系数，$$jb_k$$ 为奇信号$$x_o(t)$$ 的傅立叶系数 -
奇谐函数：周期为
$$T$$ 的函数，任意半个周期的波形可由将前半周期波形沿x轴反转得到$$a_{2k}=b_{2k}=0$$偶谐函数：将奇谐函数的负半周沿
$$x$$ 轴反转为正半周，此时的函数为偶谐函数$$a_{2k+1}=b_{2k+1}=0$$
所有谐波分量的复振幅随频率的分布称为信号的频谱
-
振幅频谱：$$A_k$$
相位频谱：$$\theta_k$$
-
特点
-
离散性：它由不连续的线条组成
-
谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上
-
收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零
-
-
$$Sa(x)=\frac{\sin{x}}{x}$$ $$x(t)=\frac{A\tau}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{Sa\left(\frac{n\Omega_0\tau}{2}\right)e^{jk\Omega_0t}}$$ $$X(\Omega)=A\tau Sa(\frac{\tau\Omega}{2})$$ -
$$X(\Omega)=T\cdot \dot{A_n}|_{n\Omega_0=\Omega}$$ -
时域非周期则频域连续，时域周期则频域离散
-
傅立叶变换
傅立叶反变换
-
傅立叶变换存在条件
-
$$\int_{-\infty}^{\infty}{\left|x(t)\right|\mathrm{d}t}<\infty$$ -
在任何有限区间内只有有限个极值点，且极值有限
-
在任何有限区间内只有有限个间断点，且不连续值有限
-
-
$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left|X(\Omega)\right|e^{j(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}$$ $$x(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}{\left|X(\Omega)\right|\cos{(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}$$ $$\left|X(\Omega)\right|$$ 为幅度频谱，$$\phi(\Omega)$$ 为相位频谱
-
单边指数信号：$$x(t)=e^{-\alpha t}u(t),\alpha>0$$，$$X(\Omega)=\frac{1}{\alpha+j\Omega}$$
-
单位冲激信号：$$X(\Omega)=1$$
-
单位阶跃信号：$$X(\Omega)=\pi\delta(\Omega)+\frac{1}{j\Omega}$$
-
复指数信号
-
线性特性：$$x_1(t)\leftrightarrow X_1(\Omega),x_2(t)\leftrightarrow X_2(\Omega)$$
$$a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(\Omega)+b\cdot X_2(\Omega)$$ -
共轭对称性：$$X^*(\Omega)=X(-\Omega)$$（$$x$$ 为实信号）
-
时移特性：$$x(t-t_0)\leftrightarrow X(\Omega)e^{-j\Omega t_0}$$
-
移频特性：$$x(t)e^{j\Omega_0 t}\leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$
-
尺度变换：$$x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}X\left(\frac{\Omega}{a}\right)$$
-
$$x(-t)\leftrightarrow X(-\Omega)$$ -
$$u(-t)\leftrightarrow \pi\delta(\Omega)-\frac{1}{j\Omega}$$ -
$$1=u(t)+u(-t)\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)$$ -
$$\mathrm{sgn}(t)=u(t)-u(-t)\leftrightarrow \frac{2}{j\Omega}$$ -
$$e^{-a|t|}=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\Omega^2}$$
-
-
对偶特性：$$X(t)\leftrightarrow 2\pi X(-\Omega)$$
-
若
$$x(t)$$ 为实偶函数，则$$X(\Omega)$$ 为实偶函数，$$X(t)\leftrightarrow 2\pi x(\Omega)$$ -
若
$$x(t)$$ 为实奇函数，则$$X(\Omega)$$ 为虚奇函数，$$X(t)\leftrightarrow -2\pi x(\Omega)$$ -
$$\delta(t)\leftrightarrow 1\Longrightarrow 1\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)$$
-
-
时域微分特性：$$x^\prime (t)\leftrightarrow j\Omega X(\Omega)$$
-
时域积分特性：$$\int_{-\infty}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(\Omega)}{j\Omega}+\pi\delta(\Omega)X(0)$$
-
频域微积分特性：$$-jtx(t)\leftrightarrow X^\prime (\Omega)$$
$$-\frac{x(t)}{jt}+\pi x(0)\delta(t)\leftrightarrow \int_{-\infty}^{\Omega}{X(\Omega)\mathrm{d}\Omega}$$ -
卷积特性
$$x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(\Omega)\cdot X_2(\Omega)$$ $$x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1(\Omega)* X_2(\Omega)$$
-
$$H(\Omega)=\frac{Y(\Omega)}{X(\Omega)}=\left|H(\Omega\right|e^{j\phi(\Omega)}$$ -
分析方法
-
将时域激励信号分解为频域信号
$$x(t)\rightarrow X(\Omega)$$ -
确定系统频率响应函数
$$H(\Omega)$$ -
求取激励信号的频域响应
$$Y(\Omega)=X(\Omega)\cdot H(\Omega)$$ -
对频域响应函数求傅立叶反变换得到系统的时域响应函数
$$Y(\Omega)\rightarrow y(t)$$
-
-
系统函数的确定
$$\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}$$ $$H(\Omega)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k (j\Omega)^k}}{\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k (j\Omega)^k}}$$
-
系统不失真条件
$$y(t)=Kx(t-t_0)$$ $$H(\Omega)=Ke^{-j\Omega t_0}$$ -
频率特征：$$H(\Omega)=\begin{cases}Ke^{-j\Omega t_0}&|\Omega|<\omega_{c0}\0&其它\end{cases}$$
-
单位冲激响应
$$h(t)=\frac{K\omega_{c0}}{\pi}Sa\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]$$ -
单位阶跃响应
$$y(t)=\frac{K}{2}+\frac{K}{\pi}Si\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]$$ $$Si(x)=\int_0^x{\frac{\sin{y}}{y}\mathrm{d}y}$$
-
令
$$x(n)=z^{n},y(n)=z^{n}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{h(k)z^{-k}}=H(s)\cdot z^{n}$$ $$z^{n}$$ 为特征函数，$$H(z)$$ 为特征值$$x(n)=\sum\limits_k{a_kz_{k}^n}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(z_k)z_k^{n}}$$
周期信号
成谐波关系的复指数信号集
- 收敛条件：平方可和
$$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{|x(n)|^2}<\infty$$
-
单边指数序列：$$x(n)=a^nu(n),|a|<1$$
$$X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}=|X(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}$$ -
幅度频谱
$$|X(e^{j\omega})|$$ 偶对称 -
相位频谱
$$\varphi(\omega)$$ 奇对称 -
$$X(e^{j\omega})$$ 以$$2\pi$$ 为周期
-
-
双边指数序列：$$x(n)=a^{|n|},|a|<1$$
$$X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}+\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}=\frac{1-a^2}{1-2a\cos{\omega}+a^2}$$ -
单位脉冲序列：$$x(n)=\delta(n)$$
$$X(e^{j\omega})=1$$ -
常数序列：$$x(n)=1$$
$$X(e^{j\omega})=2\pi\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega-2\pi k)}$$ -
符号函数序列
$$X(e^{j\omega})=\frac{-j\sin{\omega}}{1-\cos{\omega}}$$ -
单位阶跃函数序列：$$x(n)=u(n)$$
$$X(e^{j\omega})=\frac{1}{(1-e^{-j\omega})}+\pi\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega-2\pi k)}$$
-
周期性：$$X(e^{j\omega})=X(e^{j(\omega+2\pi)})$$
-
线性特性：$$x_1(n)\leftrightarrow X_1(e^{j\omega}),x_2(n)\leftrightarrow X_2(e^{j\omega})$$，$$a\cdot x_1(n)+b\cdot x_2(n)\leftrightarrow a\cdot X_1(e^{j\omega})+b\cdot X_2(e^{j\omega})$$
-
共轭对称性：$$x^{}(n)\leftrightarrow X^{}(e^{j\omega})$$，$$X(e^{j\omega})\leftrightarrow X^{*}(e^{-j\omega})$$
- 实偶函数变换为实偶函数，实奇函数变换为虚奇函数
-
时延特性：$$x(n-n_0)\leftrightarrow X(e^{j\omega})e^{-j\omega n_0}$$
-
频移特性：$$x(n)e^{j\omega_0 n}\leftrightarrow X\left(e^{j(\omega-\omega_0)}\right)$$
-
尺度变换：$$x_{(k)}(n)\leftrightarrow X(e^{jk\omega})$$，$$x(-n)\leftrightarrow X(e^{-j\omega})$$
-
时域差分与求和：$$x(n)-x(n-1)\leftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})$$
$$\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{X(e^{j\omega})}{1-e^{-j\omega}}+\pi X(e^{j0})\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega-2\pi k)}$$ -
频域微分特性：$$nx(n)\leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}X(e^{j\omega})}{\mathrm{d}\omega}$$
-
时域卷积特性：$$x(n)*h(n)\leftrightarrow X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$$
-
频域卷积特性：$$\begin{aligned}x(n)y(n)\leftrightarrow& \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\otimes Y(e^{j\omega})\&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{X(e^{j\theta})Y\left(e^{j(\omega-\theta)}\right)\mathrm{d}\theta}\end{aligned}$$ 称为周期卷积
-
对偶特性：$$X(e^{jt})\leftrightarrow x(-n)$$
两边同时傅立叶变换
-
圆周移位
$$x_1(n)=x((n-n_0))_NR_N(n)$$ $$X_1(k)=W_N^{kn_0}X(k)$$
-
双边拉普拉斯变换
$$X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}=\int_{-\infty}^{\infty}{\left[x(t) e^{-\sigma t}\right]e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t},s=\sigma+j\omega$$ $$\mathscr{L}\left{x(t)\right}=\mathscr{F}\left{x(t)e^{-\sigma t}\right}$$ -
双边拉普拉斯反变换
$$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}{X(s)e^{st}\mathrm{d}s}$$
将
-
拉普拉斯变换收敛域的几何表示：零极点图
-
$$X(s)=\frac{E(s)}{D(s)}$$ ，零点为$$E(s)$$ 的根$$o$$ ，极点为$$D(s)$$ 的根$$\times$$ -
收敛域由平行于虚轴的带状区域构成；收敛域内不包含任何极点
右边信号，收敛域位于其最右边极点的右边；左边信号，收敛域位于其最左边极点的左边；双边信号，收敛域为一带状区域
如果信号为时限的，并且至少存在一个
$$s$$ 值，使其拉斯变换存在，则收敛域为整个$$s$$ 平面
-
-
$$t$$ 的指数类函数$$e^{at}u(t)$$ ：$$\mathscr{L}\left[e^{at}u(t)\right]=\frac{1}{s-a}(\sigma>a)$$$$\mathscr{L}\left[\cos{(\Omega t)}u(t)\right]=\frac{s}{s^2+\Omega^2}(\sigma>0)$$
-
$$t$$ 的幂函数类$$t^nu(t),n\in \mathbb{Z}^+$$ ：$$\mathscr{L}\left[t^nu(t)\right]=\frac{n}{s}\mathscr{L}\left[t^{n-1}u(t)\right]=\begin{cases}\mathscr{L}\left[t^{n}u(t)\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}\\mathscr{L}\left[tu(t)\right]=\frac{1}{s^2}\end{cases}(\sigma>0)$$ -
单位冲激函数：$$\mathscr{L}\left[\delta(t)\right]=1,$$ 收敛域为整个平面
-
线性：$$a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(s)+b\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}$$
-
时域平移：$$x(t-t_0)\leftrightarrow X(s)e^{-st_0},$$ 收敛域不变
-
复频域平移：$$x(t)e^{s_0t}\leftrightarrow X(s-s_0),$$ 收敛域右移
$$\mathrm{Re}\left{s_0\right}$$ -
尺度变换：$$x(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X\left(\frac{s}{a}\right),R_1=aR$$
$$x(-t)\leftrightarrow X(-s),R_1=-R$$
-
卷积定理
-
时域卷积：$$x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}$$
-
复频域卷积：$$x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}\left[X_1(s)*X_2(s) \right]$$
-
-
时域微分：$$x^\prime (t)\leftrightarrow sX(s)$$
$$x^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nX(s),R\in \mathrm{ROC},$$ 收敛域可能放大 -
时域积分：$$\int_{-\infty}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(s)}{s},$$ 收敛域为
$$R\cap(\sigma>0)$$ 或$$R$$ （$$R$$ 在$$s=0$$ 处有$$0$$ 点） -
复频域微分：$$tx(t)\leftrightarrow -X^\prime (s),$$ 收敛域不变
-
复频域积分：$$\frac{x(t)}{t}\leftrightarrow \int_{s}^{\infty}{X(s)\mathrm{d}s},$$ 收敛域不变
-
初值定理：$$x(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}{sX(s)}$$
- 若极限不存在，则
$$X(s)=a_0+a_1s+\cdots+a_ps^p+X_p(s)$$ ，$$x(0^+)=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}{sX_p(s)}$$
- 若极限不存在，则
-
终值定理
设右边函数
$$x(t)$$ 及其导数存在并有拉普拉斯变换且的所有极点都位于$$S$$ 平面的左半边（包括在原点处的单极点），则$$x(\infty)=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow 0}{sX(s)}$$ -
如果有极点落在
$$S$$ 平面右半边，则$$x(t)\rightarrow \infty$$ -
如果有极点落在虚轴上，则
$$x(t)\rightarrow$$ 等幅振荡 -
如果原点处极点为重极点，则
$$x(t)\rightarrow$$ 随时间增长的函数
-
-
$$m>n$$ $$X(s)=$$ 多项式 + 有理真分式 -
$$m<n$$ 且$$D(s)=0$$ 无重根$$D(s)=(s-s_1)\cdots(s-s_n)$$ $$X(s)=\frac{K_1}{s-s_1}+\cdots+\frac{K_n}{s-s_n}$$ $$K_k=\left[(s-s_k)\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_k}$$ $$\frac{K_k}{s-s_k}\leftrightarrow\begin{cases}K_ke^{s_kt}u(t)\-K_ke^{s_kt}u(-t) \end{cases}$$
-
极点位于收敛域左边或左边界：右边函数
-
极点位于收敛域右边或右边界：左边函数
-
极点位于收敛域两边或外边界：双边函数
-
-
$$m<n$$ 且$$D(s)=0$$ 有重根设
$$D(s)=0$$ 有$$p$$ 重根，$$D(s)=(s-s_1)^p(s-s_{p+1})\cdots(s-s_n)$$$$ \begin{aligned} X(s)=&\frac{K_{1p}}{(s-s_{1})^{p}}+\frac{K_{1(p-1)}}{(s-s_{1})^{p-1}}+\cdots+\frac{K_{11}}{s-s_{1}}\ &+\frac{K_{p+1}}{s-s_{p+1}}+\cdots+\frac{K_{n}}{s-s_{n}} \end{aligned} $$
$$K_{1p}=\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}$$ $$K_{1k}=\frac{1}{(p-k)!}\frac{\mathrm{d}^{p-k}}{\mathrm{d}s^{p-k}}\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}$$ $$ \begin{aligned} \mathscr{L^{-1}}\left[X(s)\right]=&\left[\frac{K_{1p}}{(p-1)!}t^{p-1}+\frac{K_{1(p-1)}}{(p-2)!}t^{p-2}+\cdots+K_{12}t+K_{11} \right]e^{s_1t}u(t)\ &+\sum\limits_{q=p+1}^{n}{K_ke^{s_qt}u(t)} \end{aligned} $$
-
将激励信号分解为
$$e^{st}$$ 形式的指数分量（求拉氏变换）$$x(t)\rightarrow X(s)$$ -
确定复频域的系统函数
$$H(s)$$ -
求取每一分量的响应
$$Y(s)=X(s)\cdot H(s)$$ -
对响应复频谱函数求拉氏反变换得到系统的响应函数
$$Y(s)\rightarrow y(t)$$
因果且稳定的 LTI 系统，系统函数的收敛域一定包含虚轴，且系统函数的全部极点一定位于
存在冲激函数及其导数时，$$\mathscr{X}(s)=\int_{0^-}^{\infty}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}$$
反变换
-
右边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换相同
双边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换不同
-
时域微分：$$x^\prime (t)\leftrightarrow s\mathscr{X}(s)-x(0^-)$$
-
时域积分：$$\int_{-\infty}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{1}{s}\mathscr{X}(s)+\frac{\int_{-\infty}^{0^-}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}}{s}$$
-
双边
$$\mathscr{Z}$$ 变换$$\mathscr{Z}[x(n)]=X(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{x(n)z^{-n}}$$ -
单边
$$\mathscr{Z}$$ 变换$$\mathscr{Z}[x(n)u(n)]=\mathscr{X}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{x(n)z^{-n}}$$ -
收敛域
-
有限长序列
$$x(n)(n_1\leq n\leq n_2)$$ -
$$n_2>n_1\geq 0$$ 或$$n_2\geq n_1>0\Rightarrow o<|z|\leq\infty$$ -
$$n_2>0,n_1<0\Rightarrow 0<|z|<\infty$$ -
$$0\geq n_2>n_1$$ 或$$1>n_2\geq n_1\Rightarrow 0\leq|z|<\infty$$
-
-
右边序列（因果序列）：$$R_r<|z|\leq\infty$$
-
左边序列（反因果序列）：$$|z|<R_l$$
-
双边序列：若
$$R_l>R_r$$ ，$$R_r<|z|<R_l$$；若$$R_l>R_r$$ ，没有收敛，没有$$\mathscr{Z}$$变换
-
-
$$\mathscr{Z}$$ 变换和拉普拉斯变换关系：$$z-e^{sT}$$ -
$$\mathscr{Z}$$ 变换和离散时间傅立叶变换：$$z=re^{j\omega}$$
-
单位冲激函数：$$\delta(n)\leftrightarrow1(o\leq|z|\leq\infty)$$，$$\mathscr{Z}[\delta(n)]=1$$
-
单位阶跃序列：$$u(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}(|z|>1)右边序列$$，$$\mathscr{Z}[u(n)]=\frac{1}{1-z^{-1}}$$
-
单边指数序列：$$a^nu(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-a}(|z|>|a|)右边序列$$，$$\mathscr{Z}[a^nu(n)]=\frac{z}{z-a},|az^{-1}|<1,|z|>a$$
-
时域平移：$$x(n-n_0)\leftrightarrow z^{-n_0}X(z)$$，$$R$$ 在原点或无穷远处可能发生变化
-
线性特征：$$a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\leftrightarrow a_1X_1(z)+a_2X_2(z),R_1\cap R_2\in R$$
-
移频特性：$$e^{j\omega_0 n}x(n)\leftrightarrow X(ze^{-j\omega_0}),$$ 收敛域不变
-
$$\mathscr{Z}$$ 域尺度变换特性：$$z_0^nx(n)\leftrightarrow X\left(\frac{z}{z_0}\right),|z_0|R$$，$$z_0=r_0e^{j\omega_0}$$ -
时域反转特性：$$x(-n)\leftrightarrow X(z^{-1}),\frac{1}{R}$$
-
卷积定理：$$x_1(n)*x_2(n)\leftrightarrow X_1(z)\cdot X_2(z)$$
-
$$\mathscr{Z}$$ 域微分特性：$$nx(n)\leftrightarrow -zX^\prime (z),R$$ 不变 -
时域求和性质：$$\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{z}{z-1}X(z),R\cap(|z|>1)$$
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初值定理：$$x(0)=\lim\limits_{z\rightarrow\infty}{X(z)}$$
-
终值定理：除了单位圆上允许有一阶极点之外，其余极点都在单位圆之内
$$x(\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}{[(z-1)X(z)]}$$
展开方法(长除法)：对右边的序列按